Программа дисциплины:
У Ч Е Б Н О - М Е Т О Д И Ч Е С К И Й
К О М П Л Е К С П О М А Т Е М А Т И К Е
Составитель: к.п.н., доц. Лаврова Н.Н.
МОСКВА 2010
Введение. Основное содержание программы.
(Выписка из ГОС):
ДПП.Ф.06
Математика
Множество – основное понятие курса математики. Математические утверждения и их структура. Бинарные отношения и их свойства. Отношения эквивалентности и разбиение множества на классы – основной подход к построению множества целых неотрицательных чисел. Аксиоматическое построение множества натуральных чисел. Теория чисел – основа вычислительных действий. Расширение множества целых неотрицательных чисел. Рациональные и действительные числа. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел. Функции, уравнения, неравенства.
Величины и их измерение. Различные подходы к введению аддитивно-скалярных величин. Величины, изучаемые в начальной школе. Единицы измерения величин. Геометрические величины, изучаемые в начальной школе, их определение, свойства и признаки. 500(700)
Пояснительная записка
Курс математики на факультете подготовки учителей начальных классов призван обеспечить студентам возможность успешного обучения младших школьников началам математики и максимального использования развивающего потенциала этого предмета.
Базисными понятиями начального курса математики являются целое неотрицательное число, операции над целыми неотрицательными числами, величины и их измерение. Формирование этих понятий требует от студента осознанного владения рядом общих математических понятий, таких, как множество, отношение, функция и др. Необходимо также познакомить студентов с идеей расширения понятия числа, с рациональными и действительными числами.
Сказанное определяет основное содержание курса математики, который может быть условно разделен на разделы:
Общие понятия.
Уравнения и неравенства.
Целые неотрицательные числа.
Расширение понятия числа.
Элементы геометрии.
Величины и их измерение.
Основные цели и задачи курса.
Цель: овладение системой знаний и умений, составляющих научную основу математического образования младших школьников и обеспечивающей возможности их развития средствами математики.
Задачи:
- углубить представления студентов о роли и месте математики в окружающем мире и познакомить с математическими методами изучения действительности;
- дать необходимые математические знания, на основе которых строится начальный курс математики, и сформировать умения, необходимые для овладения его содержанием;
- способствовать развитию логической грамотности студентов, мышления и речи;
- развивать умения самостоятельной работы с учебными пособиями и другой математической литературой.
В результате освоения содержания дисциплины студенты должны:
иметь представление:
- о роли математики в изучении окружающего мира;
- о математических методах изучения действительности;
- о природе математических понятий.
знать:
- определения основных понятий теории множеств, логики, соответствий, теории чисел и геометрии и их свойства;
- различные подходы к построению системы целых неотрицательных чисел.
уметь:
- определять отношения между множествами и выполнять операции над множествами; производить разбиение множества на классы с помощью свойств и отношений;
- решать несложные комбинаторные задачи;
- уметь дать определение знакомому понятию и найти в нем ошибку;
- использовать определения при решении задач на распознавание;
- выделять логическую форму предложений;
- находить значения истинности высказываний различной структуры и строить их отрицания;
- устанавливать наличие (отсутствие) отношений логического следования и равносильности между утверждениями;
- строить индуктивные и дедуктивные умозаключения и умозаключения по аналогии;
- устанавливать вид соответствия (отношения) между множествами;
- решать несложные уравнения и неравенства;
- иллюстрировать различные подходы к определению целого неотрицательного числа и операциям над числами примерами из начального курса математики;
- рационально выполнять и обосновывать устные и письменные вычисления с натуральными и рациональными числами;
- записывать числа в различных системах счисления и выполнять над ними действия;
- решать типичные геометрические задачи на доказательство, построение и вычисление, используя теоретический материал курса;
- вычислять значения геометрических величин, используя свойства геометрических величин и формулы.
владеть:
- способами доказательства и опровержения математических утверждений;
- алгоритмами решения задач, предусмотренными программой;
- некоторыми методами доказательства утверждений.
Принципы отбора содержания и организации учебного материала.
В основу отбора содержания материала положен принцип профессиональной направленности обучения, в соответствии с которым в курс должны быть включены вопросы, являющиеся теоретической базой для формирования математических понятий у младших школьников и необходимые для понимания научных основ курса начальной математики.
При организации деятельности студентов предпочтение отдается тем методам обучения, которые будущий учитель будет использовать в своей профессиональной деятельности (в соответствии с принципом бинарности, сформулированным А.Г.Мордковичем).
Дисциплина изучается на лекционных и практических занятиях, а также в процессе самостоятельной работы студентов. Форма итогового контроля – экзамен. Программа включает тематику лекций и практических и занятий, темы контрольных работ, вопросы к экзамену и список рекомендуемой литературы.
ПРОГРАММА
I. Общие понятия
а) Множества.
Понятие множества. Элементы множества. Конечные и бесконечные множества. Пустое множество (примеры). Способы задания множеств. Равные множества. Кортежи. Отношения между множествами. Число подмножеств конечного множества. Операции над множествами: пересечение; объединение множеств; разность множеств; дополнение; декартово произведение множеств. Свойства операций над множествами.
Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Разбиение множества на классы с помощью одного, двух и трёх свойств.
б) Элементы комбинаторики.
Комбинаторные задачи. Правила суммы и произведения. Размещения с повторениями и без повторений, перестановки; сочетания.
в) Элементы логики.
Определяемые и неопределяемые понятия. Способы определения понятий. Структура определения через род и видовое отличие. Примеры таких определений.
Понятия высказывания и высказывательной формы (предиката), операции над ними. Кванторы.Отношения следования и равносильности между предложениями. Необходимые и достаточные условия. Строение теоремы. Правильные и неправильные рассуждения. Способы доказательства.
г) Соответствия.
Соответствия между двумя множествами. Способы задания соответствий. Взаимно однозначные соответствия. Равномощные множества.
Функциональные соответствия. Определение числовой функции. Способы задания функций. График функции. Прямая и обратная пропорциональности, линейная и квадратичная функции, их свойства и графики.
Бинарные отношения на множестве, их свойства. Отношения эквивалентности и порядка.
Алгебраические операции. Свойства операций.
II. Целые неотрицательные числа.
Краткие сведения о возникновении понятия натурального числа и нуля. Различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественный подход к построению множества целых
неотрицательных чисел.
Понятие натурального числа и нуля. Отношения «равно», «меньше» и «больше» на множестве целых неотрицательных чисел.
Определение суммы, её существование и единственность. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Определение произведения, его существование и единственность. Законы умножения. Определение произведения через сумму.
Определение частного целого неотрицательного числа и натурального, его существование и единственность. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы и произведения на число.
Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных
чисел.
Понятие об аксиоматическом методе построения теории. Аксиомы Пеано. Определения натурального числа, сложения и умножения натуральных чисел. Таблицы сложения и умножения. Свойства сложения и умножения. Определения вычитания и деления. Множество целых неотрицательных чисел. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком. Свойства множества целых неотрицательных чисел. Понятие отрезка натурального ряда и счёта элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.
Натуральное число как результат измерения величины.
Натуральное число как мера отрезка. Определение арифметических действий над числами, рассматриваемыми как меры отрезков.
Системы счисления.
Понятие системы счисления. Непозиционные и позиционные системы счисления. Запись и название чисел в десятичной системе счисления. Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления.
Позиционные системы счисления, отличные от десятичной: запись чисел, арифметические действия, переход от записи чисел в одной системе к записи в другой.
Делимость чисел.
Определение отношения делимости на множестве целых неотрицательных чисел. Свойства отношения делимости. Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел. Признаки делимости на 2 и 5, 4 и 25, 3 и 9.
Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел. Представление составного числа в виде произведения простых множителей (каноническое разложение). Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, способы их нахождения. Взаимно простые числа. Необходимое и достаточное условие делимости на произведение взаимно простых чисел.
III. Расширение понятия числа.
Рациональные числа.
Задача расширения понятия числа. Краткие исторические сведения о возникновении понятия дроби.
Понятие дроби и положительного рационального числа, арифметические действия над ними. Законы сложения и умножения. Свойства множества рациональных чисел.
Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними.
Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби.
Действительные числа.
Понятие иррационального числа. Бесконечные десятичные непериодические дроби. Множество действительных чисел. Арифметические действия над действительными числами. Законы сложения и умножения. Свойства множества действительных чисел.
IY. Уравнения и неравенства.
Алфавит числовой алгебры. Числовое выражение и выражение с переменной. Числовые равенства и неравенства, их свойства.
Уравнения и неравенства с переменной. Равносильные уравнения и неравенства. Теоремы о равносильности уравнений и неравенств. Уравнение с двумя переменными.
Система уравнений с двумя переменными.
Системы и совокупности неравенств с одной переменной.
Y. Элементы геометрии.
Краткие исторические сведения о возникновении геометрии.
Луч, угол, ломаная, отрезок, окружность, круг.
Параллельные и перпендикулярные прямые, их свойства.
Треугольники. Классификация треугольников по величине углов и по соотношению длин сторон. Признаки равенства треугольников. Замечательные точки в треугольнике. Вписанные и описанные окружности. Сумма углов треугольника.
Четырехугольники. Трапеция, параллелограмм и его виды (прямоугольник, ромб, квадрат). Признаки и свойства параллелограмма (прямоугольника, ромба).
Геометрические построения с помощью циркуля и линейки. Элементарные и основные задачи на построение. Основные этапы решения задач на построение.
Многоугольники. Теоремы о сумме внутренних и внешних углов любого многоугольника. Правильные многоугольники, их свойство. Построение правильных шестиугольников, треугольников, четырехугольников и восьмиугольников.
Геометрические преобразования. Движение и его виды (осевая и центральная симметрии, поворот и параллельный перенос). Гомотетия и подобие. Признаки подобия треугольников.
Многогранники. Призма ( прямоугольный параллелепипед, куб), пирамида. Изображение этих фигур на плоскости.
Тела вращения. Цилиндр, конус, шар. Изображение этих фигур на плоскости.
YI. Величины и их измерение.
Отражение свойств реального мира через понятие величины. Основные свойства скалярных величин. Понятие измерения величины.
Длина отрезка, её основные свойства. Измерение длины отрезка. Длина окружности. Стандартные единицы длины, соотношения между ними.
Площадь фигуры. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Способы измерения площадей фигур. Нахождение площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника. Площадь круга.
Объём тела и его измерение.
Другие величины, рассматриваемые в начальном курсе математики (масса, объем,стоимость, время, скорость, путь); единицы их измерения.
Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Рекомендуемая литература.
Основная:
1. Аматова Г.М., Аматов М.А. Математика: Учебное пособие для студ. высш. пед. учеб заведений: В 2-х кн. - М.: Изд. Центр «Академия», 2008.- Кн.1.- 256 с.; Кн.2.- 240 с.
2. Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. Задачник - практикум по математике. -
М.: Просвещение, 1985.-173 с.
3. Стойлова Л.П. Математика:Учебник для студ. высш. пед. учебн. заведений / Л.П.Стойлова.- М.:Изд. Центр Академия, 2007. - 432 с.
Дополнительная:
1. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. 3-е издание / Н.Я.Виленкин. - М.: МЦНМО, 2005. - 150 с.
2. Виленкин Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. - М.: МЦНМО, 2010. - 400 с.
3. Мерзон А.Е. Пособие по математике для студентов факультета начальных классов / Мерзон А.Е., Добротворский А.С., Чекин А.Я. - М.: Изд-во «Институт практической психологи». - 1998. - 448 с.
4. Никольская И.Л. Знакомство с математической логикой. – М.: Московский психолого-социальный институт, 1998. - 128 с.
5. Стойлова Л.П. Математика: учеб. пособие для студентов-заочников факультетов начальных классов / Л.П.Стойлова, Н.Я.Виленкин, Н.Н.Лаврова. – М., 1990. – Ч. 1.
6. Тонких А.П. Математика: Учебное пособие для студентов факультетов подготовки учителей начальных классов: В 2-х кн. / А.П.Тонких. - М.: Книжный дом «Университет», 2002.- Кн.1.-530 с.; Кн.2.-372 с.
7. Шадрина И.В. Геометрия в начальной школе: Учебное пособие для студентов факультетов начальных классов / И.В.Шадрина.- М.: МГПУ, 2007.-175 с.
8. Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов / Шарыгин И.Ф, Ерганжиева Л.Н. – М.: МИРОС, КПЦ «МАРТА», 1992. - 208 с.
9. Статьи из журналов «Начальная школа».
10. Статьи из журналов «Математика в школе».
11. Учебники по математике для начальных классов.
Объем дисциплины и виды учебной работы
Факультет/
специальность Название
дисциплины Вид учебной работы Количество часов Семестр
Аудито
рные Самост работа
Переподготовки педагогических кадров/
«Педагогика и методика начального образования» Математика Лекции 1-2
Практические 1-2
Консультации 1-2
Контрольные работы 1-2
Итоговый контроль: экзамен 2
Зачет 1
Общий объем часов по дисциплине
Содержание дисциплины
Примерный структурно-тематический план изучения курса математики
Семестр Тема Количество часов Формы
контроля
лекций практ. зан.
1 Общие понятия
Множества и операции над ними.
Элементы комбинаторики. Элементы логики:
а) Математические понятия.
б) Математические предложения.
в) Умозаключения и доказательства.
4
4
4
8
6
4
6
2
8
4
Контрольная
работа, 2 ч.*)
Контрольная
работа, 2 ч.*
26 24 Зачёт
2 г) Соответствия.
Уравнения и неравенства.*
Целые неотрицательные числа
Аксиоматическая теория натуральных чисел.
Теоретико-множественная интерпретация целых неотрицательных чисел и действий над ними.
Натуральное число как мера величины.
Отношение делимости.
Системы счисления.
Расширение понятия числа
Рациональные числа и действительные числа.
Элементы геометрии
Геометрические фигуры на плоскости.
Геометрические тела и их изображение на плоскости.
Величины и их измерение. 4
4
6
4
4
4
4
2
6
6
2
2
4
2
4
4
2
4
Контрольная
работа, 2 ч.*
Контрольная
работа, 2 ч.
32 36 Экзамен
Примечание. Темы, отмеченные знаком *, изучаются самостоятельно.
Основные понятия
Множество, элемент множества, характеристическое свойство, подмножество, равные множества, пересечение (объединение, разность) множеств, дополнение подмножества, разбиение множества на классы, кортеж, декартово произведение множеств.
Понятие, объем и содержание понятия, род, вид, видовое отличие, определение понятия.
Высказывание, значение истинности высказывания, высказывательная форма, область определения и множество истинности высказывательной формы, элементарное высказывание, логическая связка, составное высказывание, структура высказывания, конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, квантор общности (существования), логическое следование, равносильность, необходимое (достаточное) условие, теорема (обратная, противоположная, обратная противоположной).
Умозаключение, дедуктивное (правильное) умозаключение, правило вывода, правдоподобное умозаключение, неполная индукция, аналогия, прямое (косвенное) доказательство, полная (математическая) индукция.
Комбинаторная задача, размещение, перестановка, сочетание.
Соответствие, область отправления и область прибытия соответствия, область определения и область значений соответствия, соответствие, обратное данному. Функциональное соответствие, взаимно однозначное соответствие; равномощные множества; счетные множества.
Числовая функция, график функции, прямая пропорциональность, обратная пропорциональность.
Бинарное отношение, граф, рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность, отношение эквивалентности, отношение порядка.
Алгебраическая операция; обратная операция, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, нейтральный (поглощающий) элемент.
Числовое выражение; значение числового выражения; выражение, не имеющее смысла; выражение с переменной); область определения выражения; тождественно равные выражения; тождество; тождественное преобразование; числовое равенство (неравенство); уравнение (неравенство); равносильные уравнения (неравенства); решение уравнения (неравенства). Натуральное число, целое неотрицательное число, отрезок натурального ряда; счет.
Система счисления (позиционная и непозиционная), десятичная запись числа.
Делитель, кратное; простое число; составное число; наибольший общий делитель; взаимно простые числа; наименьшее общее кратное.
Дробь (правильная и неправильная, сократимая и несократимая, смешанная); равные дроби; десятичная дробь; периодическая (непериодическая) дробь; рациональное (иррациональное) число, действительное число; модуль числа.
Отрезок; луч; угол (прямой, острый, тупой, развернутый); смежные углы; вертикальные углы; параллельные (перпендикулярные) прямые; треугольник (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный, равнобедренный, равносторонний); четырехугольник (выпуклый, невыпуклый), параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат; многоугольник (выпуклый и невыпуклый; вписанный и описанный); окружность, касательная к окружности.
Многогранник (выпуклый и невыпуклый, правильный); грань, ребро и вершина многогранника; призма (прямая, правильная), параллелепипед (прямоугольный), куб, пирамида (правильная), шар; сфера; прямой круговой цилиндр; прямой круговой конус.
Величина, единица величины, измерение величины, численное значение (мера) величины, аддитивно скалярная величина, однородные (разнородные) величины, длина, площадь, объем, равновеликие и равносоставленные фигуры.
Организация изучения дисциплины
1 семестр
Тематика лекций и практических лекций и практических занятий
Лекции (26ч.)
1,2. Множества и операции над ними.
а) Множество, элемент множества, способы задания множеств.
б) Отношения между множествами. Круги Эйлера.
в) Пересечение и объединение множеств, законы *этих операций
(коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность).
г) Разность множеств. Дополнение подмножества.
д) Декартово произведение множеств.
е) Разбиение множества на классы.*
3,4. Комбинаторные задачи и способы их решения.
а) Понятие комбинаторной задачи. Правила суммы и произведения.
б) Размещения с повторениями и без повторений. Перестановки.
в) Сочетания.
5,6. Математические понятия.
а) Объем и содержание понятия.
б) Виды определений понятий.
в) Структура определения понятий через род и видовое отличие.
г) Требования к определениям понятий.
д) Использование определений понятий при решении задач на
распознавание.*
7-8. Математические предложения и их структура.
а) Высказывания и высказывательные формы.
б) Конъюнкция, дизъюнкция и импликация высказываний и
высказывательных форм.
в) Высказывания с кванторами. Способы установления значения
истинности таких высказываний.
г) Отрицание высказываний и высказывательных форм. Правила
построения отрицаний высказываний различной структуры (с кванторами,
конъюнкции, дизъюнкции).
9-10. Отношение логического следования и равносильности между предложениями:
а) Понятия логического следования и логической равносильности.
б) Необходимые и достаточные условия.
в) Структура теоремы. Виды теорем, связь между ними.*
11-13. Умозаключения в математике:
а) Дедуктивные умозаключения. Проверка правильности умозаключений.
б) Основные формы дедуктивных умозаключений (заключения, отрицания, силлогизма, конкретизации).
в) Неполная индукция и аналогия. Связь индукции и дедукции.
г) Прямой и косвенный способы доказательства утверждений.*
Практические занятия (24 ч.)
1-2. Отношения между множествами. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность, декартово произведение).
3-4. Решение комбинаторных задач.
5. Аудиторная контрольная работа.
6. Понятия и их определения.
7-8.Способы установления значений истинности составных высказываний и высказываний с кванторами. Построение отрицания высказываний различной структуры.
9-10. Отношения логического следования и равносильности между предложениями.
11. Виды умозаключений.
12.Аудиторная контрольная работа.
Примечание. Вопросы, помеченные *, выносятся для самостоятельного изучения.
Содержание зачета
На зачете теоретические знания студентов проверяются по следующим вопросам:
1. Понятие множества, способы его задания. Отношения между множествами, изображение их при помощи кругов Эйлера.
2. Операции над множествами: пересечение, объединение разность и дополнение, декартово произведение. Законы этих операций.
3. Особенности математических понятий. Основные характеристики понятия.
4. Сущность определения математического понятия. Требования к определению понятий. Способы определения понятий. Способы определения понятий в начальном курсе математики.
5. Использование определений понятий при решении задач на распознавание. Алгоритмы распознавания.
6. Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Разбиения множества на классы с помощью одного или нескольких свойств. Классификация понятий. Правила классификации.
7. Высказывания и высказывательные формы, операции над ними. Правила нахождения множеств истинности конъюнкции, дизъюнкции, отрицания.
8. Кванторы общности и существования. Способы установления истинности (ложности) высказываний с кванторами. Правило построения отрицания высказываний с кванторами.
9. Отношения логического следования и равносильности между выска-зывательными формами.
10. Строение теоремы. Виды теорем и связь между ними. Необходимые и достаточные условия.
11. Понятие умозаключения. Дедуктивные умозаключения. Основные формы дедуктивных умозаключений: правила отрицания, заключения, силлогизма, конкретизации. Проверка правильности умозаключений при помощи кругов Эйлера.
12. Неполная индукция. Особенности индуктивных умозаключений. Взаимосвязь индукции и дедукции.
13. Сущность математического доказательства. Прямой и косвенный способы доказательства утверждений.
14. Понятие комбинаторной задачи. Правила суммы и произведения.
15. Размещения, перестановки, сочетания. Формулы для подсчета их числа
На зачете проверяются умения:
• устанавливать отношения между множествами и изображать их с помощью кругов Эйлера;
• выполнять операции над множествами;
• оценивать правильность выполненной классификации; производить разбиение множества на классы с помощью одного или нескольких свойств;
• находить декартово произведение множеств и изображать его на координатной плоскости;
• решать комбинаторные задачи с применением правил суммы и произведения;
• распознавать вид данной комбинации (размещение перестановки, сочетания) и находить их число;
• выделять логическую структуру предложений;
• находить значения истинности составных высказываний и высказыва-тельных форм и высказываний с кванторами;
• устанавливать способ доказательства (опровержения) высказываний с кванторами;
• устанавливать наличие (отсутствие) отношение логического следования между высказывательными формами;
• переформулировать высказывание «Из А следует В», с помощью слов: всякий, необходимо, достаточно (и наоборот);
• устанавливать необходимость (достаточность) заданного условия;
• выделять условие и заключение теоремы; формулировать теорему, обратную, противоположную данной и обратную противоположной;
• устанавливать равносильность теорем на основе закона контрапозиции;
• устанавливать родовидовые отношения между понятиями;
• выделять составные части определения и его логическую структуру;
• находить ошибки в определениях знакомых понятий;
• пользоваться алгоритмами распознавания при решении соответствующих задач;
• строить индуктивные, дедуктивные умозаключения (в соответствии с правилами заключения, отрицания, силлогизма) и по аналогии;
• определять вид умозаключения: дедуктивное, индуктивное, по аналогии;
• восстанавливать пропущенные посылки в умозаключениях.
Самостоятельная работа
1. Изучить теоретические вопросы, отмеченные *, по темам «Множества», «Элементы комбинаторики» и «Элементы логики» /1/, /3/.
2. Решить задачи:
- по теме «Множества»: /2/ п.7. Упражнения к &1.
- по теме « Элементы комбинаторики»: /2/ п.12. Упражнения к &2.
- по теме «Элементы логики»: /2/ п.п.18,22,26,29. Упражнения к && 3-6.
2 семестр
Лекции (32 часа)
1-2 .Соответствия между двумя множествами:
а) понятие соответствия и способы задания соответствий;
б) взаимно однозначные соответствия;
в) равномощные множества;
г) понятие функции как соответствия;
д) прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики*.
е) бинарные отношения на множестве и их свойства (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность);
ж) отношения эквивалентности и их связь с разбиением множества на классы;
з) отношения порядка*.
и) алгебраические операции на множестве и их свойства.*
3. Выражения (числовые и с переменной). Числовые равенства и неравенства:
а) язык числовой алгебры;
б) понятие выражения;
в) тождественные преобразования выражений; тождество*;
г) числовые равенства и неравенства, их основные свойства;
4. Уравнения и неравенства:
а) понятие уравнения и неравенства с одной переменной;
б) равносильные уравнения (неравенства). Теоремы о равносильных уравнениях (с доказательством) и неравенствах*.
5. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел:
а) о возникновении и развитии понятия натурального числа;
б) правила построения аксиоматической теории;
в) основные понятия и аксиомы теории натурального числа;
г) определение натурального числа;
6. Определение сложения и умножения натуральных числе в аксиоматической теории:
а) Определение сложения. Существование и единственность суммы
(без доказательства). Таблица сложения однозначных чисел (с выводом);
б) Законы сложения (ассоциативный - с доказательством);
в) Определение умножения. Существование и единственность
произведения (без доказательства). Таблица умножения однозначных чисел;
г) Законы умножения (дистрибутивный - с доказательством).
7. Свойства множества натуральных чисел. Определение вычитания и деления:
а) упорядоченность и дискретность множества натуральных чисел;
б) определение вычитания, условие существования разности натуральных чисел, ее единственность (с доказательством);
в) определение деления, условие существования частного натуральных чисел, его единственность*.
г) определение действий в множестве целых неотрицательных чисел*.
8. Теоретико-множественный смысл целого неотрицательного числа.
а) понятие отрезка натурального ряда и счета элементов конечного множества, порядковые и количественные натуральные числа;
9. Теоретико-множественный смысл арифметических операций над целыми неотрицательными числами:
а) смысл суммы, разности, законов сложения, правил вычитания числа из суммы и суммы из числа; *
б) смысл произведения, частного, законов умножения, правил деления суммы на число * и деления с остатком.
10,11. Некоторые вопросы делимости целых неотрицательных чисел:
а) понятие отношения делимости, его основные свойства;
б) теоремы о делимости суммы, разности* и произведения (одна – с доказательством);
в) признаки делимости на 2,3*,4*,5,9*,25* в десятичной системе счисления (с доказательством);
г) простые и составные числа; алгоритм распознавания простых чисел; основная теорема арифметики;
д) наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, способ их нахождения*;
12. Рациональные числа:
а) расширение множества натуральных чисел; определение рационального числа;
б) равенство дробей; основное свойство дробей; сравнение рациональных чисел;
в) операции над рациональными числами (обыкновенными дробями).
13. Действительные числа*:
а) расширение множества рациональных чисел;
б) представление действительных чисел десятичными дробями;
14. Треугольники, их виды и свойства. Равные треугольники. Четырехугольники, их виды и свойства.
15. Преобразования фигур на плоскости. Движения, их виды. Гомотетия и подобие.
16. Геометрические величины и их измерение:
а) длина отрезка и ее измерение;
б) понятие площади плоской фигуры; равносоставленность;
в) теорема о площади прямоугольника (с доказательством); теоремы о площади параллелограмма и треугольника;
д) площадь многоугольника*;
е) понятие площади криволинейной фигуры; площадь круга; палетка*.
Практические занятия (32 часа)
1. Способы задания соответствий между элементами двух множеств и их виды.
2. Виды числовых функций.
3. Свойства отношений. Отношения эквивалентности и порядка.
4. Решение уравнений с одной переменной и текстовых задач с помощью составления уравнений.
5. Решение неравенств с одной переменной.
6 . Контрольная работа по теме «Соответствия, функции, отношения».
7. Теоретико-множественный смысл целых неотрицательных чисел, отношения «меньше» и операций над ними;
8. Натуральное число как мера величины.
9. Системы счисления: запись чисел в позиционных системах счисления, перевод из одной системы счисления в другую, операции над числами.
10. Решение задач, связанных со свойствами и признаками делимости.
11. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, способы их нахождения. Простые и составные числа. Взаимно простые числа.
12. Решение задач с рациональными и действительными числами.
13. Аудиторная контрольная работа.
14. Преобразования фигур на плоскости.
15.Решение задач на построение.
16.Изображение пространственных фигур на плоскости.
17,18.Измерение величин.
Самостоятельная работа
1. Изучить теоретические вопросы, отмеченные *, по темам «Соответствия», «Уравнения и неравенства», «Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел», «Теоретико-множественная интерпретация целых неотрицательных чисел», «Делимость чисел» и «Расширение понятия числа» /1/, /3/.
2. Изучить теоретический материал:
- по теме «Натуральное число как мера величины»
а) понятие аддитивной скалярной величины;
б) натуральное число как результат измерения величины;
в) смысл арифметических действий над натуральными числами, полученными в результате измерения величин;
- по теме: «Системы счисления»:
а) позиционные и непозиционные системы счисления;
б) запись и сравнение чисел в позиционных системах счисления;
в) арифметические операции в различных позиционных системах счисления;
г) десятичная система счисления, ее особенности;*
д) алгоритмы действий над многозначными числами в десятичной системе счисления.
- по теме: «Действительные числа»:
а) необходимость расширения множества положительных рациональных чисел; понятие иррационального числа;
б) представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями; арифметические действия над ними;
в) свойства множества положительных действительных чисел;
г) отрицательные действительные числа, их сравнение и арифметические действия над ними;
д) множество действительных чисел.
2. Решить задачи:
- по теме «Соответствия»: /2/ п.49. Упражнения к &10.
- по теме «Уравнения, неравенства»: /2/ п.п.33, 39, 43. Упражнения к &&7-9.
- по теме «Различные подходы к целым неотрицательным числам»: /2/ п.п.53,57,59. Упражнения к &&11-13.
- по теме «Делимость чисел»: /2/ п.69. Упражнения к &15.
- по теме «Системы счисления»: /2/ п.63. Упражнения к &14.
- по теме: «Расширение понятия числа»: /2/ п.75,78. Упражнения к &&16,17.
3. Изучить теоретические вопросы, отмеченные *, по темам: «Элементы геометрии» и «Величины и их измерение» /1/, /3/.
4.Решить задачи:
- по теме «Элементы геометрии»: /3/ Упражнения к п.п.101-119.
- по теме «Величины и их измерение»: /3/ Упражнения к п.п.120-124.
Содержание экзамена
На экзамене проверяется теоретический материал по следующим вопросам:
1. Понятие соответствия между двумя множествами. Способы задания соответствий. Взаимно однозначные соответствия. Равномощные множества. Примеры соответствий между двумя множествами, которые рассматриваются в начальном курсе математики.
2. Числовые функции, способы их задания. Свойства функций (область определения, область значений, возрастание, убывание). Линейная функция, ее свойства и график. Определение квадратичной функции. Пути осуществления пропедевтики понятия функции в начальном курсе математики.
3. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики.
Примеры заданий из начального курса математики, при выполнении которых
используются свойства прямой и обратной пропорциональности.
4. Понятие бинарного отношения на множестве. Способы задания отношений. Свойства бинарных отношений. Примеры бинарных отношений, которые изучаются в начальном курсе математики. Способы задания этих отношений.
5. Отношение эквивалентности. Теорема о связи отношений эквивалентности с разбиением множества на классы. Отношение порядка. Упорядоченные множества. Примеры отношений эквивалентности и порядка, которые изучаются в начальном курсе математики.
6. Понятие алгебраической операции на множестве. Законы алгебраических операций. Нейтральные, поглощающие и симметричные элементы. Примеры алгебраических операций, изучаемых в начальном курсе математики, и их законов.
7. Алфавит числовой алгебры. Числовые выражения и выражения с пе-ременной. Тождественно равные выражения. Тождество. Числовые выражения и неравенства. Способ определения числового выражения в начальном курсе математики. Примеры тождественных преобразований, выполняемых учащимися.
8. Уравнение с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильных уравнениях (с доказательством). Трактовка понятия уравнения в начальном курсе математики и способы их решения.
9. Неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильных неравенствах (с доказательством). Пропедевтика понятия неравенства с переменной в начальном курсе математики.
10. Сущность аксиоматического метода построения теории. Требования к системе аксиом. Основные понятия и аксиомы аксиоматической теории натурального числа. Определение натурального числа. Примеры заданий для учащихся начальных классов, в которых рассматривается смысл натурального числа как члена неограниченно продолжающейся последовательности.
11. Определение сложения натурального числа в аксиоматической теории. Существование и единственность суммы. Таблица сложения однозначных чисел (с выводом). Законы сложения (один с доказательством). Примеры заданий для учащихся начальных классов, при выполнении которых используется определение сложения.
12. Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории. Существование и единственность произведения. Таблица умножения однозначных чисел (с выводом). Законы умножения (один с доказательством). Примеры заданий для учащихся начальных классов, при выполнении которых используется определение умножения.
13. Определение отношения «меньше» для натуральных чисел в аксио-матической теории. Свойства этого отношения (с доказательством). Понятие дискретности множества натуральных чисел. Примеры заданий из учебников математики для начальных классов, при выполнении которых используются
эти свойства.
14. Определение вычитания натуральных чисел в аксиоматической теории. Условие существования разности на множестве натуральных чисел, ее единственность (с доказательством). Примеры заданий, при выполнении которых учащиеся начальных классов используют данное определение вычитания и условие существования разности двух натуральных чисел.
15. Определение деления натуральных чисел в аксиоматической теории. Условие существования частного в множестве натуральных чисел, его единственность (с доказательством). Примеры заданий, при выполнении которых учащиеся начальных классов используют данное определение деления и условие существования частного двух натуральных чисел.
16. Определение в аксиоматической теории числа «нуль» и действий с ним. Невозможность деления на нуль (с доказательством). Определение деления с остатком. Существование и единственность неполного частного и остатка.
Действия с нулем в начальном курсе математики (формулировка, способы введения). Понятие деления с остатком, особенности записи этого действия.
17. Понятие отрезка натурального ряда и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.
Содержание этих понятий в начальном курсе математики.
18. Теоретико-множественный смысл количественного натурального
числа, нуля и отношения «меньше (больше)». Содержание этих понятий в начальном курсе математики.
19. Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел,
отношения «меньше на» и законов сложения. Понятие суммы и сложения в начальном курсе математики. Законы сложения, изучаемые в начальных классах, способы их введения и примеры использования в курсе математики.
20. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел и отношения «меньше на». Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа (с иллюстрацией на кругах Эйлера). Понятие разности в начальном курсе математики. Способы ознакомления учащихся с правилами вычитания числа из суммы и суммы из числа.
21. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел (2 подхода) , отношения «больше в» и законов умножения. Понятие произведения в начальном курсе математики. Законы умножения, изучаемые в начальных классах, способы их введения и примеры использования.
22. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел, отношения «меньше в» и правила деления суммы на число. Понятие деления в начальном курсе математики. Способы ознакомления учащихся с правилами деления суммы на число.
23. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы, разности, произведения и частного таких чисел. Примеры заданий начального курса математики, раскрывающих этот смысл.
24. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись числа в позиционной системе счисления с основанием р. Десятичная система счисления, ее особенности. Понятие десятичной системы счисления, изучаемой в начальном курсе математики.
25. Отношение делимости, его свойства. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения (с доказательством).
26. Признаки делимости на 2 и 5, 4 и 25, 3 и 9 (с доказательством одного из них).
27.Простые и составные числа, их свойства. Теорема о бесконечности множества простых чисел (с доказательством).
28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, их свойства и способы нахождения. Взаимно простые числа. Признак делимости на составное число.
29. Задача расширения множества натуральных чисел. Понятие дроби и
положительного рационального числа. Связь между натуральными и положительными рациональными числами.
Примеры заданий из учебников математики для начальных классов, которые готовят учащихся к необходимости расширения множества натуральных чисел.
30. Операции над положительными рациональными числами и их свойства (с доказательством).
31. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Теорема о представлении рациональных чисел в виде бесконечных периодических десятичных дробей (с доказательством).
32. Существование чисел, отличных от рациональных (с доказательством). Понятие иррационального числа. Множество положительных действительных чисел, их свойства.
33. Понятие преобразования фигуры. Движение, его свойства и виды.
Преобразования фигур, выполняемые в начальной школе.
34.Гомотетия и подобие. Признаки подобия треугольников. Преобразования фигур, выполняемые в начальной школе.
35. Определения призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба. Основные свойства прямоугольного параллелепипеда и его изображение на плоскости.
36. Определение пирамиды. Правильная пирамида, ее изображение на плоскости.
37. Понятие величины как свойства объектов. Измерение величин. Операции над величинами. Понятие длины отрезка и ее измерения. Существование и единственность длины отрезка. Понятие длины дуги. Формула длины окружности. Трактовка понятия длины отрезка в начальном курсе математики. Практические приемы измерения длин. Стандартные единицы длины, история их возникновения.
38. Понятие площади плоской фигуры. Равносоставленные фигуры, их свойства. Теорема о площади прямоугольника (с доказательством). Трактовка понятия площади фигуры в начальном курсе математики. Свойства площади, неявно используемые здесь при решении задач, и особенности вывода правила вычисления площади прямоугольника.
39. Теоремы о площади параллелограмма и треугольника (с доказательством). Примеры упражнений для учащихся начальных классов, при выполнении которых они неявно используют понятие равносоставленности.
40. Понятие площади криволинейной фигуры. Площадь круга. Измерение площади фигуры при помощи палетки. Свойства площади фигуры, которые неявно используют в начальном курсе математики при вычислении площадей с помощью палетки.
На экзамене проверяются умения:
• устанавливать вид соответствия между множествами (взаимно однозначное, функциональное и др.);
• определять вид функции (линейная, квадратичная, прямая пропорциональность, обратная пропорциональность);
• решать различными способами текстовые задачи с пропорциональными величинами; обосновывать предложенное решение; выполнять проверку;
• определять свойства известных студенту бинарных отношений и их
вид;
• устанавливать вид бинарных операций (алгебраические, неалгебраические);
• распознавать числовые выражения, выражения с переменной, числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменной;
• обосновывать тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические действия;
• решать уравнения и неравенства с одной переменной: линейные, квадратичные, дробно-линейные, содержащие знак модуля;
• иллюстрировать теоретико-множественный подход к числу и операциям над числами примерами из учебников математики для начальных классов;
• иллюстрировать подход к числу как мере величины примерами из учебников математики для начальных классов;
• устанавливать делимость на 2,3,4,5,9,25, используя соответсвующие признаки делимости;
• устанавливать делимость суммы, разности и произведения, не производя над числами действий;
• находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел;
• рационально выполнять и обосновывать устные и письменные вычисления с натуральными числами в десятичной системе счисления;
• решать текстовые задачи, основанные на записи чисел в десятичной системе счисления;
• выполнять вычисления с рациональными числами, представленными обыкновенными и десятичными дробями;
• распознавать рациональные и иррациональные числа.
• выполнять различные движения фигур на плоскости.
Методические рекомендации по изучению дисциплины
Курс, который Вам предстоит изучать, представляет собой теоретические основы начального курса математики. Усвоив их, Вы сможете:
- правильно оценивать роль и место понятий, изучаемых в 1-4 классах, в общей системе математических знаний;
- овладеете умениями, необходимыми для математически грамотного обучения младших школьников и их умственного развития;
- сможете творчески подходить к методике обучения учащихся математике.
Чтобы помочь Вам в овладении этим курсом, дадим некоторые рекомендации.
Работать надо систематически. Изучение курса математики предполагает усвоение определенных понятий, их свойств и взаимосвязей, различных математических фактов и закономерностей. Поэтому изучение каждой темы необходимо начинать с рассмотрения теоретического материала. Овладение теорией предполагает работу с конспектами и учебной литературой. При этом учтите, что математические тексты требуют не только прочтения, но понимания и воспроизведения.
Разбирая формулировки определений и теорем, выделяйте ключевые и опорные слова, которые несут значительную часть смысловой нагрузки, а также логическую структуру предложений, обращая внимание на используемые в них логические связки. Следите за тем, чтобы смысл всех встречающихся терминов был понятен. В тех случаях, когда Вы сталкиваетесь с незнакомым или малопонятным термином, нужно уяснить его смысл, возвращаясь к ранее изученному материалу. В противном случае это затруднит усвоение нового материала.
Для того, чтобы проверить, усвоили ли Вы определение, сформулируйте условия, при которых объект принадлежит (не принадлежит) объему определяемого понятия. Приведите примеры, удовлетворяющие и не удовлетворяющие ему. Выведите следствия из принадлежности и непринадлежности объекта объему определяемого понятия.
Разбирая то или иное доказательство теоремы или вывод формулы, все время помните о том, что Вы хотите доказать и что для этого достаточно получить, т.е. пытайтесь выстроить встречную цепочку рассуждений. После рассмотрения доказательства воспроизведите самостоятельно все рассуждения. Обращайте внимание на те положения теории (определения, аксиомы, теоремы), на основании которых Вы делаете те или иные выводы. Чтобы проверить понимание какого-то определения или доказательства теоремы, полезно воспроизвести их заново при других обозначениях или расположив на чертеже по-другому. В случае возникших затруднений следует вновь вернуться к рассматриваемому материалу.
Изучив материал какой-либо темы, важно уяснить, как связаны между собой понятия, т.к. их усвоение происходит только в системе. Для того, чтобы увидеть иерархию понятий, полезно составить блок-схему, в которой следует отразить последовательность введения понятий и основных фактов, а также взаимосвязи между ними.
Успешное овладение курсом математики невозможно без решения задач, которые являются эффективным средством усвоения понятий и методов, рассматриваемых в математике, и способствуют формированию умения применять теоретические знания на практике. При этом задачи выступают как средство самоконтроля и позволяют понять, усвоена ли тема.
Степень усвоения темы проверьте, ответив на контрольные вопросы и задания. В случае затруднений вновь вернитесь к теории.
Завершить изучение темы целесообразно установлением связей между рассматриваемым материалом и начальным курсом математики. Для этого нужно проследить, как вводится то или иное понятие или закономерность, какую трактовку оно там получает, как рассуждают ученики
Если в процессе самостоятельной работы над теоретическим материалом или при решении задач у Вас возникли сомнения в правильности решения или вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо отметить их и обратиться к преподавателю за консультацией. При этом постарайтесь четко сформулировать, в чем именно Вы испытываете затруднения.
О подготовке к зачетам и экзаменам. По курсу математики Вам предстоит сдать несколько зачетов и экзаменов. Для их успешной сдачи необходима систематическая работа в течение всего семестра и учебного года: изучение теоретического материала, подготовка к практическим и лекционным занятиям, выполнение тестов и контрольных работ, сдача коллоквиумов.
На зачете, прежде всего, проверяется сформированность определенных умений. Поэтому на зачете Вам предлагаются задачи, которые Вы должны решить. Правильность решения задачи и аргументации является свидетельством усвоения соответствующих определений, формул, теорем и правил.
При подготовке к зачету необходимо повторить соответствующий теоретический материал (доказательства теорем и выводы формул на данном этапе можно опустить), разобрать уже решенные задачи и прорешать новые, из числа, указанных преподавателем.
На экзамене, прежде всего, проверяются теоретические знания, поэтому каждый билет содержит один или два теоретических вопроса по изученным темам. Отвечая на них, Вы должны продемонстрировать знания в системе, умение пользоваться математической терминологией и проводить доказательства теорем, а также устанавливать взаимосвязь изученного материала с учебниками математики для начальных классов. Кроме того, Вы должны выполнить практическое задание по одному из изученных разделов.
Средства обеспечения освоения дисциплины
Интернет-технологии
1. www.math.ru Интернет-поддержка учителей математики. Здесь можно найти электронные книги, видеолекции, различные по уровню и тематике задачи, истории из жизни математиков.
2. http://n-shkola.ru/ Журнал «Начальная школа».
3.http://www.schoolpress.ru/products/magazines/index.hhp?SECTION_ID=42. Журнал «Математика в школе».
4. http://www.gnpbu.ru Государственная научная педагогическая библиотека им. К.Д. Ушинского.
Дидактические материалы
Содержание контроля успеваемости.
Примерные аудиторные контрольные работы.
1 семестр
Контрольная работа №1 проводится по темам «Множества» и «Элементы комбинаторики».
1. K – множество красных цветов в вазе, Р – множество тюльпанов в вазе. Сформулируйте условия, при которых: а) К ∩ Р = ; б) К Р.
2. Найдите множество Х = , если В = (-∞; 4], C = (-10; ∞);
D = (-18; 4].
3. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение множеств X = [0; 3) и У = R.
4. Сколько трехцветных флагов с горизонтальным или вертикальным расположение полос можно составить, имея 6 различных цветов?
5. Сколькими способами из колоды карт (36 штук) можно выбрать 2 карты?
Контрольная работа № 2 проводится по теме «Элементы логики».
1. Дайте определение имени существительного и выделите в нем определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие.
Используя данное определение, объясните, почему слово «огород» является именем существительным, а слово «красный» им не является.
2. Соразмерно ли определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны»? (Ответ поясните). В случае отрицательного ответа внесите соответствующие изменения в определение.
3. Нарисуйте две фигуры, для которых утверждение «Фигура является четырехугольником и имеет равные диагонали или стороны» будет ложным.
Свой выбор объясните.
4. Докажите или опровергните следующие утверждения:
а) сумма любых пяти последовательных натуральных чисел кратна 5;
б) в любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны;
в) существуют целые числа, кратные 5.
5. Верно ли утверждение:
а) если х является делителем числа 6, то х является делителем числа 18;
б) для того чтобы число делилось на 8, необходимо, чтобы оно делилось
на 4? Ответ поясните.
2 семестр
Контрольная работа №1 проводится по теме «Соответствия».
1. Между множествами Х= {х+2=5; 5х-7=3; 2(х-3)=0} и У= {1,2,3} задано соответствие: «уравнение х имеет корень у». Является ли оно: а) функциональным; б) взаимнооднозначным?
2. Равномощны ли множества Х и У, если:
а) Х - множество букв в слове «мама», а У – множество цифр в записи числа 111222;
б) Х = N (множество натуральных чисел); а У – множество нечетных натуральных чисел?
3. Какова зависимость между длинами х и у сторон прямоугольника с площадью 12 кв. см?
4. На множестве М - натуральных чисел от 1 до 15 задано отношение «иметь при делении на 4 один и тот же остаток». Задает ли оно разбиение множества М на классы? Почему? В случае положительного ответа выпишите эти классы.
5. Какие из арифметических операций являются алгебраическими на множестве: а) натуральных чисел; б) положительных действительных чисел? Ответ
Поясните.
Контрольная работа №2 проводится по темам «Системы счисления» и «Делимость чисел».
1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу приба-
вить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.
2. Вычислите значение выражения . Выразите результат: а) в десятичной; б) в пятеричной системах счисления.
3. Не выполняя непосредственного деления на 12, выясните, какие из чисел 54276, 11991, 22344, 10062 кратны 12. (Ответ обосновать).
4. Найдите НОД и НОК чисел 376 и 124.
5. Докажите, что при любом натуральном n выражение ( – ) кратно 3.
Вопросы для самопроверки
Контрольные вопросы по теме «Множества»
1. В каком случае множество считается заданным? Какие способы задания множеств вам известны? Какие свойства называются характеристическими? Как прочитать запись: А = {x / Р(х) }? В каких отношениях могут находиться два множества? Сформулируйте условие, при котором множества пересекаются; равны; одно является подмножеством другого.
2. Какое множество называется пересечением (объединением, разностью, дополнением) множеств А и В? Задайте множества A U В, А ∩В, А \ В, А' с помощью характеристического свойства. В чем проявляется связь между теоретико-множественными и логическими операциями? Сформулируйте условие, при котором: а А∩B (а А∩B); а АUB (а АUB); а А' (а А').
3. Что представляет собой кортеж? Когда два кортежа равны? Какое множество называется декартовым произведением? Подчиняется ли декартово умножение множеств коммутативному и ассоциативному законам?
Контрольные вопросы по теме «Комбинаторика»
1. Как можно определить число элементов в объединении и декартовом произведении двух конечных множеств? Как эти правила читаются в комбинаторике? Какие комбинации называют размещениями с повторениями? Как подсчитывают число всех размещений с повторениями из n элементов по m элементов?
2. Какие комбинации называют размещениями без повторений? Сочетаниями? Чем может отличаться одно размещение от другого? Чем могут отличаться сочетания? Как подсчитывают число всех размещений (сочетаний) из n элементов по m элементов?
3. Какие комбинации называют перестановками? Как подсчитывают число перестановок из n элементов?
Контрольные вопросы по теме «Элементы логики»
1. Каковы особенности математических понятий? Что понимают под объемом и содержанием понятия? В каких отношениях могут находиться понятия? Как связаны между собой объем и содержание понятия?
2. Зачем понятиям дают определения? Какие предложения называются определениями? Можно ли доказывать или опровергать определения? Какие требования к определению понятий Вам известны? В чем сущность каждого из них? Можно ли дать несколько определений одному и тому же понятию?
3. Какие определения считают явными? Какова их логическая структура Какие способы определений относятся к явным? В чем сущность определения через род и видовое отличие? Какие ошибки наиболее часто встречаются при воспроизведении таких определений? Какие способы определения понятий относятся к неявным?
4. Что представляет собой задача на распознавание? На что следует ориентироваться при решении таких задач? Какие Вам известны алгоритмы распознавания? Какова последовательность действий при решении задачи на распознавание, если свойства, входящие в определение, имеют конъюнктивную (дизъюнктивную) структуру?
5. В каком случае можно говорить о разбиении множества на классы? Сколько классов может получиться при разбиении с помощью двух свойств? От чего это зависит? Что определяет собой логическая операция - классификация? Какие правила необходимо соблюдать при выполнении классификации? Чем отличается научная классификация от разбиения множества на классы?
6. Какие предложения называются высказываниями? Какие предложения считаются в математике составными? Как устанавливают значение истинности конъюнкции (дизъюнкции, отрицания) высказываний?
7. Какие предложения называются высказывательными формами? Как
находится множество истинности конъюнкции (дизъюнкции, отрицания) высказывательных форм? Как доказать эти правила? В чем проявляется взаимосвязь между логическими и теоретико-множественными операциями? 8. Какие слова в математике называются кванторами? В чем заключается операция связывания квантором? Какова логическая структура высказываний с кванторами? Какие связи существуют между логическими операциями и кванторами? В чем они проявляются? Каковы способы установления истинности (ложности) высказываний с кванторами? Что нужно сделать, чтобы построить отрицание высказываний с кванторами в утвердительной форме?
9. В каком случае говорят, что "Из А логически следует В"? Как можно убедиться в истинности высказывания А В? Перечислите все известные Вам способы. В каком случае можно утверждать, что "Из А не следует В"? Какие высказывательные формы называются равносильными? Что можно сказать про значения истинности этих предложений? Про их множества истинности?
10. Как устроена теорема? Из каких частей она состоит? Как сформулировать теорему, обратную данной; противоположную данной; обратную противоположной? Нужно ли доказывать все четыре теоремы? Почему? В чем заключается закон контрапозиции? В каком случае свойство А считается достаточным для свойства В? В каком случае свойство А является необходимым для В? Сформулируйте теорему А B с помощью слова "достаточно", "необходимо".
11. Что такое умозаключения? Какие умозаключения называют дедуктивными? Какие правила дедуктивных умозаключений Вам известны? Запишите их схемы. Может ли быть получен ложный вывод в дедуктивном умозаключении? В каком случае это возможно? Можно ли рассуждать неправильно, но получить истинный вывод?
12. Какое умозаключение называют неполной индукцией? Какова схема данного умозаключения? Как показать, что в индуктивном умозаключении отсутствует логическое следование между посылками и заключениями? Каков характер вывода, полученного с помощью неполной индукции? В чем проявляется взаимосвязь между индукцией и дедукцией?
13. Что представляет собой математическое доказательство? Чем можно пользоваться при доказательстве утверждений? В чем заключается прямой способ доказательства? На чем основан косвенный способ доказательства утверждений? Означает ли полученное противоречие, что мы рассуждали неправильно? Почему, получив противоречие, мы считаем теорему доказанной?
Контрольные вопросы по теме «Соответствия, отношения, операции»
1. Как определяют понятие соответствия между элементами двух множеств? Как задают соответствия? Что представляет собой характеристическое свойство бинарного соответствия? Какие соответствия называются взаимно однозначными? Какие множества называются равномощными? Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.
2. Как определяют числовую функцию? Как их задают? Какая функция называется возрастающей? Убывающей? Четной? Нечетной? Каковы особенности графиков четных и нечетных функций? Какая функция называется линейной? Перечислите ее свойства.
3. Какая функция называется прямой пропорциональностью? Обратной пропорциональностью? Каковы их область определения и область значений? Промежутки возрастания и убывания? Что представляют собой графики данных функций? Сформулируйте основное свойство прямой пропорциональности, обратной пропорциональности. Как можно прочитать данные свойства при условии, что х и у - положительные числа?
4. Как определяют понятие бинарного отношения? Какими свойствами оно может обладать? Сформулируйте условие, при котором отношение является (не является) рефлексивным; симметричным; транзитивным. Как эти свойства отражаются на графах?
5. Какие отношения называются отношениями эквивалентности? Какие элементы попадают в один и тот же класс, а какие - в разные при разбиении множества на классы с помощью отношений эквивалентности? Какие отношения называются отношениями порядка? В каком случае множество считается упорядоченным?
6. Какая операция называется алгебраической? Каким законам они могут подчиняться? Какие преобразования выражений возможны на основе коммутативного закона? Ассоциативного? Дистрибутивного? Какова роль нейтрального, поглощающего и симметричного элементов в преобразовании выражений?
Контрольные вопросы по теме «Уравнения и неравенства»
1. Из каких символов состоит алфавит числовой алгебры? Какие из них могут входить в состав числового выражения? Что понимают под «значением числового выражения»? Является ли числовое выражение высказыванием? Из каких символов может быть образовано выражение с переменной? Что понимают под «областью определения выражения»? Можно ли считать выражение с переменной высказывательной формой? Какие выражения считают тождественно равными? Могут ли два выражения быть тождественно равными на одном множестве и не быть - на другом? Какие преобразования называются тождественными? Приведите примеры тождеств.
2. Как определяется уравнение с одной переменной? Что значит решить уравнение? Что такое решение уравнения? Какие уравнения называются равносильными? Какие преобразования не нарушают их равносильность? Как доказывают теоремы о равносильных уравнениях?
3. Как определяется неравенство с одной переменной? Что значит решить неравенство? Что такое решение неравенства? Какие неравенства называются равносильными? Какие преобразования не нарушают их равносильность? Как доказывают теоремы о равносильных неравенствах?
Контрольные вопросы по теме
«Аксиоматическая теория натуральных чисел»
1. В чем суть аксиоматического метода построения теории? Каким требованиям должна удовлетворять система аксиом? В чем заключается требование непротиворечивости? Независимости? Что такое модель (интерпретация) системы аксиом? Какие понятия и отношения выбраны в качестве исходных при аксиоматическом построении множества N? Сформулируйте аксиомы Пеано и дайте определение натурального числа.
2. Как определяется в аксиоматической теории сложение натуральных чисел? Как, исходя из аксиоматического определения сложения, получить таблицу сложения однозначных чисел?
В каком виде рассматривается ассоциативный и коммутативный законы сложения в начальных классах? Каково их назначение? Приведите примеры вычислений с использованием этого закона.
3. Как определяется в аксиоматической теории умножение натуральных чисел? Почему в этой теории необходимо доказывать существование и единственность произведения натуральных чисел? Как, исходя из определения умножения, получить таблицу умножения натуральных чисел? Каким законам оно подчиняется? По какой общей схеме доказываются эти законы? Что лежит в ее основе? Каково назначение каждого из этих законов? Приведите примеры вычислений с использованием этих законов.
4. В каком виде рассматривается в начальных классах коммутативный закон умножения? Ассоциативный? Дистрибутивный закон умножения относительно сложения?
5. Каким образом в аксиоматической теории определяются отношения «меньше»? Упорядочивает ли оно множество N? Упорядочивает ли множество N отношение "непосредственно следовать за"? Существует ли наименьший элемент в множестве N? В чем заключается свойство дискретности? Какие еще свойства множества N можете вы назвать?
6. В чем суть закона монотонности сложения и умножения натуральных чисел? Как они доказываются? Каково их назначение?
7. Как определяется в аксиоматической теории вычитание натуральных чисел? Каково условие существования разности натуральных чисел? Является ли оно достаточным? Необходимым? Как доказать условие существования и единственности разности двух натуральных чисел? Какой метод используется при доказательстве единственности разности?
8. Как определяется в аксиоматической теории деление натуральных чисел? Каково условие существования частного натуральных чисел? Является ли оно достаточным? Необходимым? Как доказывается существование и единственность частного двух натуральных чисел? Какой метод используется при доказательстве единственности?
9. Каково назначение правил вычитания числа из суммы и суммы из числа? Как они доказываются в аксиоматической теории? Какие преобразования возможны на их основе? Приведите примеры.
10. Каково назначение правила деления суммы на число? Числа на произведение? Как они доказываются в аксиоматической теории? Какие преобразования возможны на их основе? Приведите примеры.
11. Каким образом в аксиоматической теории определяется число нуль? Как определяются арифметические операции, когда одна из компонент равна нулю? Почему в математике считают, что делить на нуль невозможно? Как определяется деление с остатком?
Контрольные вопросы по теме
«Теоретико-множественный смысл натуральных чисел и операций над ними»
1. Как определяется отрезок натурального ряда? Какие его свойства вам известны? Какое множество называется конечным? Что значит пересчитать элементы конечного множества? Какие требования должны соблюдаться при счете? Следствием каких теоретических положений они являются? Какой смысл приобретает в процессе счета натуральное число? А в результате счета?
2. Какие множества называются равномощными? Почему отношение
равномощности определяет разбиение всех конечных множеств на классы? Что общего у множеств, попавших в один класс? Каков теоретико-множественный смысл числа «три»? Числа «пять»?
3. Каков теоретико-множественный смысл отношения «меньше» и его свойств? Объясните, основываясь на данном подходе, смысл неравенства 3<5. Каков теоретико-множественный смысл отношения «равно»?
4. Каков теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел? Как доказать, что n (AUB) = n (А) + n(В), если А∩B = 0 и А и В конечные множества?
5. Каковы законы сложения неотрицательных чисел? Каков их теоретико-множественный смысл? Как вводятся эти законы в начальном курсе математики? Является ли такой способ доказательством этих законов?
6. Каков теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел, отношений «больше на», «меньше на? Как формулируется и записывается правило вычитания числа из суммы? Суммы из числа? Каков смысл этих правил с теоретико-множественной точки зрения? Как они вводятся в начальном курсе математики?
7. Каков теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел, если его рассматривать как результат сложения одинаковых слагаемых? Каким может быть еще теоретико-множественный смысл такого произведения? Как доказать, что n (А В) = n (А) n (В), если А и В - конечные множества?
8. Каковы законы умножения неотрицательных чисел? Каков их теоретико-множественный смысл? Как вводятся эти законы в начальном курсе математики? Является ли такой способ введения доказательством этих законов?
9. Каков теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел, отношений «больше в», «меньше в»? Как формулируется и записывается правило деления суммы на число? Каков его смысл с теоретико-множественных позиций? Как оно вводится в начальном курсе математики?
10. Что показывает натуральное число как мера величины? Каков смысл суммы и разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин?
11. Что представляет собой произведение чисел а и b при условии, что одно из них получено в результате измерения длины отрезка или другой аддитивной скалярной величины? Каким еще может быть смысл, произведения натуральных чисел, как мер величины?
12. Что представляет собой частное чисел a и b при условии, что
а) числа А и В получены в результате измерения величин;
б) число А получено в результате измерения величины,
В - отвлеченное натуральное число? Каким еще может быть смысл, частного натуральных чисел – мер величин?
Контрольные работы по теме: «Системы счисления»
1. Что такое система счисления? Какая система счисления называется позиционной? В чем ее отличие от непозиционной? Приведите примеры позиционных и непозиционных систем счисления. Как можно записать число в позиционной системе счисления с основанием р (р > 1) ? Как можно представить число р в десятичной системе счисления? В чем особенности этой системы счисления? Как осуществляется сравнение чисел в данной системе счисления?
2. Сформулируйте алгоритм сложения многозначных чисел. На каких теоретических фактах и понятиях он основан? Приведите примеры. Ответьте на те же вопросы относительно вычитания.
3. Как формулируется алгоритм умножения многозначных чисел? Какие теоретические факты и понятия лежат в его основе? К рассмотрению каких частных случаев сводится умножение многозначных чисел? Приведите примеры.
4. Как формулируется алгоритм деления многозначных чисел? Какие теоретические факты и понятия лежат в его основе? Приведите примеры деления многозначного числа на однозначное; многозначное и обоснуйте процесс нахождения частного и остатка.
Контрольные вопросы по теме «Делимость чисел»
1. В каком случае можно сказать, что a и b находятся в отношении делимости? Как записать этот факт? Прочитайте различными способами сделанную вами запись. Какими свойствами обладает отношение делимости? Как формулируют теоремы о делимости суммы, разности и произведения? Сформулируйте для каждой из них противоположную и определите ее значение истинности.
2. Что такое признак делимости на число b? Как формулируется признак делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 25? Как доказывается каждый из них? На какие теоретические факты и определения вы опирались в процессе доказательства?
3. В каком случае число d является общим делителем (общим кратным) чисел a и b? Дайте определение наибольшего общего делителя (наименьшего общего кратного) чисел a и b. Какие свойства наибольшего общего делителя (наименьшего общего кратного) вам известны? Как можно найти наибольший общий делитель (наименьшее общее кратное) чисел? Как формулируется правило нахождения наибольшего общего делителя (наименьшего общего кратного) на основе канонического разложения чисел? Для какой цели используется алгоритм Евклида и как он формулируется?
Контрольные вопросы по теме
«Рациональные и иррациональные числа»
1. В связи с чем возникла необходимость расширения множества натуральных чисел? В каком случае множество Y считается расширением множества X? Что означает запись а = me ; а = ? Что показывает число n? Число m? Какие дроби называются равными? Какие их свойства вам известны? Определяет ли отношение равенства дробей разбиение множества дробей на классы? Какие дроби попадают в один класс? Как определяется положительное рациональное число?
2. Как определяется сумма рациональных чисел? Сформулируйте общее правило сложения дробей. Выведите из него правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
3. Как определяется разность рациональных чисел? Как формулируется правило вычитания дробей? Как оно доказывается? Какие теоретические положения и определения при этом используются? Почему для доказательства можно взять дроби с одинаковыми знаменателями?
4. Как определяется произведение рациональных чисел? Как формулируется правило умножения дробей? Каким законам подчиняется умножение рациональных чисел? Как они доказываются? На какие теоретические положения и определения вы опираетесь в каждом случае?
5. Как определяется частное рациональных чисел? Как формулируется правило деления дробей? Как оно доказывается? Какие теоретические факты и определения при этом используются?
6. Какая новая операция выполняется в множестве Q по сравнению с множеством N? Откуда это следует? Какими свойствами обладает множество Q? Какие из них совпадают со свойствами множества N, а какие - нет?
7. Какие дроби называются десятичными? В виде каких десятичных дробей записываются рациональные числа? Как это доказать?
8. С помощью какой теоремы доказывается существование чисел, отличных от рациональных? Какой метод доказательства при этом используется? Какие числа называются иррациональными? В виде каких десятичных дробей они записываются? Какие числа называются положительными действительными? Решается ли в множестве R+ задача измерения длин отрезков? Какие свойства множества R+ вам известны?
Контрольные вопросы по теме «Элементы геометрии»
1. Где зародилась геометрия? С решением каких практических задач связано ее возникновение? В чем заключается вклад Евклида в развитие геометрии? Почему пятый постулат Евклида привлек внимание математиков? В чем суть и значение открытия Н.И. Лобачевского? Каков современный подход к построению евклидовой геометрии?
2. Какие требования должны соблюдаться при аксиоматическом построении теории? Каковы основные понятия и отношения школьного курса геометрии? Какие группы аксиом в нем выделены? Можно ли иначе построить курс школьной геометрии?
3. Как определяют понятие геометрической фигуры? Какие операции можно выполнять над ними? Каким образом могут быть определены понятия отрезка, луча и угла? Как их определяют в школьном курсе геометрии? Какие две прямые называют параллельными? В чем суть основного свойства параллельных прямых? Каким образом можно установить, параллельны ли данные прямые или нет? Каковы условия и заключение теоремы Фалеса? Можете ли вы привести пример ее применения?
Какие две прямые называются перпендикулярными? Каким образом находят расстояние от точки до прямой? Какой перпендикуляр называется серединным? Можете ли вы сформулировать и доказать его основное свойство? Как можно определить понятие треугольника? Какие два треугольника называются равными? Каким образом можно установить, равны ли два треугольника или нет? Как можно установить, является ли данный треугольник равнобедренным? Прямоугольным? Как можно определить понятие четырёхугольника? Параллелограмма? Трапеции? Какие еще свойства параллелограмма и трапеции вам известны? Каким образом можно установить, является ли данный определить понятие четырёхугольник параллелограммом? Трапецией?
4. Как можно определить понятия прямоугольника, ромба и квадрата? Каким образом можно установить, является ли данный четырехугольник прямоугольником? Квадратом?
5. Какие виды геометрических задач вы знаете? Какие аксиомы лежат в основе решения задач на построение? Каковы аксиомы линейки? Циркуля? Что значит решить задачу на построение циркулем и линейкой? Каковы этапы ее решения?
6. Каковы исходные положения, которыми руководствуются при решении задачи на построение? Какие из них считаются элементарными?
7. Какое соответствие называется преобразованием фигуры? Какое
преобразование называется тождественным? Преобразованием, обратным данному? Как определяют произведение преобразований? Какое преобразование называется центральной симметрией? Осевой симметрией? Гомотетией?
8. Какое преобразование фигуры F в фигуру F1 называется движением? Является ли движением центральная симметрия? Осевая симметрия? Каковы основные свойства движения? Как можно определить равенство фигур, используя понятие движения?
9. Какая фигура называется двугранным углом? Многогранным углом? Какое геометрическое тело называется многогранником? Какой многогранник называется призмой? Какая призма называется прямой? Правильной? Какие правила надо соблюдать при ее построении на чертеже?
10. Какая призма называется прямоугольным параллелепипедом? Кубом? Каковы основные свойства прямоугольного параллелепипеда? Какие правила надо соблюдать при его построении на чертеже?
11. Какой многогранник называется пирамидой? Что представляют собой ее высота и апофема? Какая пирамида называется правильной? Какие правила надо соблюдать при ее построении на чертеже?
12. Какое геометрическое тело называется прямым круговым цилиндром? Что представляют собой его радиус и высота?
13. Какое геометрическое тело называется прямым круговым конусом? Что представляют собой его радиус, высота и образующие?
14. Какое геометрическое тело называется шаром? Что представляют собой его центр, радиус и диаметр? Что такое сфера?
15. Какие правила надо соблюдать, изображая данные тела на чертеже?
Контрольные вопросы по теме «Величины и их измерения»
1. Каков способ определения длины отрезка? Каковы практические приемы измерения длин?
2. Почему длину кривой нельзя измерять аналогично измерению длины отрезка? Что понимают под длиной кривой? Как вычисляют длину окружности?
3. Решение каких практических задач привело к понятию площади фигуры? Как можно определить понятие площади в математике? Можете ли вы, используя символы, записать свойства площади? Какие фигуры называются равносоставленными?
4. Каким образом может быть найдена площадь прямоугольника? Можете ли вы ее доказать? Каковы рассуждения младших школьников при выводе правила вычисления площади прямоугольника?
5. Как можно найти площадь параллелограмма и треугольника? Как найти площадь произвольного выпуклого многоугольника?
6. Что понимают под площадью криволинейной фигуры? Как можно найти площадь круга? Что представляет собой палетка и как она используется при измерении площади фигуры?
.
Тестовые задания по математике (по всему курсу)
1. Элементом множества А – четырехугольников является: а) диагональ 4-угольника б) прямоугольник в) сторона 4-угольника
2. Множество X = {а,b,{c,d},f}. Какое из высказываний истинно?
a) f є X б) c є X в) {a,b} є X.
3. Число 112336 есть:
а) кортеж (1,2,3,6) б) кортеж (1,1,2,3,3,6) в) множество {1,2,3,6}
4. Какое свойство является характеристическим для множества А={1,3,5,7,9}?
а) быть натуральным нечетным числом
б) быть однозначным числом
в) быть нечетным однозначным числом.
5. На каком рисунке изображено отношение между множествами А={a,b,c,d,e,f} и В={a,b,c,d}?
а) б) в)
6. Какое множество является разностью множеств А={1,2,3,4} и В={3,4,5}?
а) {1,2} б) {1,2,5} в) {5}
7. На каком рисунке заштриховано объединение множеств А и В?
а) б) в)
8. На каком рисунке изображено декартово произведение множеств
А ={1;3} и В= [–2;1]?
а) б) в)
9. Какое из высказываний истинно?
Все треугольники делятся:
а) на равнобедренные, равносторонние и разносторонние
б) на прямоугольные, тупоугольные и остроугольные
в) равносторонние и разносторонние
10. Какое из перечисленных понятий не является родовым для понятия «прямоугольник»?
а) четырехугольник б) квадрат в) многоугольник.
11. Какое определение прямоугольника несоразмерно?
а) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые
б) Прямоугольником называется параллелограмм, у которого хотя бы 1 угол прямой
в) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого хотя бы 1 угол прямой.
12. Укажите характер ошибки в определении: «Равносторонний треугольник – это когда все стороны равны».
а) определение избыточно б) пропушено родовое понятие в) порочный круг
13. Какое из предложений является высказывательной формой?
а) найдется такое натуральное число х, что х + 1 = 7
б) число у – двузначное
в) число 123 кратно 3
14. Какое из высказываний ложно?
а) число 12 кратно 3 и 4
б) число 12 кратно 3 и 5
в) число 12 кратно 3 или 4.
15. Отрицанием высказывания «Все студенты моей группы – отличники» является утверждение:
а) ни один студент моей группы не является отличником;
б) хотя бы один студент моей группы не является отличником;
в) некоторые студенты моей группы – отличники.
16. Какое из высказываний можно опровергнуть с помощью контрпримера?
а) все натуральные числа являются четными
б) некоторые натуральные числа – отрицательны
в) существует натуральное число, меньшее 1.
17. Какое из высказываний нельзя доказать на примере?
а) существуют натуральные числа, являющиеся трехзначными
б) все натуральные числа являются целыми
в) некоторые равнобедренные треугольники являются прямоугольными.
18. Какое из высказываний истинно?
а) если число кратно 10, то оно четное;
б) если число четное, то оно кратно 10;
в) если число четное, то его запись оканчивается на 4.
19. Какое утверждение равносильно высказыванию «Если А, то В»?
а) если В, то А; б) если не А, то не В; в) если не В, то не А.
20. Какое из соответствий, заданных с помощью графика, не является функцией?
а) б) в)
21. Между какими множествами нельзя установить взаимно однозначное соответствие?
а) А – множество букв в слове «молоко», В – множество букв в слове «сон»
б) А – множество цифр в записи числа 1114, В – множество цифр в записи числа 97
в) А - множество натуральных чисел, В – множество четных натуральных чисел
22. Отношение, граф которого изображен на рисунке:
а) антисимметрично б) симметрично в) несимметрично и неантисимметрично.
23. Какие свойства использовались при выполнении тождественных преобразований выражения?
117 ∙ 53 + 47 ∙ 117 = 117 ∙ 53 + 117 ∙ 47 = 117 ∙ (53 + 47) = 117 ∙ 100 = 11700
а) коммутативность и ассоциативность
б) ассоциативность и дистрибутивность
в) коммутативность и дистрибутивность.
24. Какая операция над множествами не обладает свойством коммутативности?
а) объединение б) разность в) пересечение.
25. С помощью какого отношения можно упорядочить множество натуральных чисел?
а) быть больше на 1 б) непосредственно следовать за в) быть меньше
26. Какое отношение порождает разбиение множества натуральных чисел на классы?
а) оканчиваться одной и той же цифрой б) быть делителем в) быть больше
27. Общее свойство класса конечных равномощных множеств называется:
а) натуральным числом б) рациональным числом в) действительным числом.
28. Наименьшее число есть во множестве:
а) положительных действительных чисел
б) натуральных чисел
в) положительных рациональных чисел.
29. Свойством дискретности обладает множество:
а) натуральных чисел б) рациональных чисел в) действительных чисел
30. Число элементов в объединении попарно непересекающихся множеств есть:
а) произведение натуральных чисел
б) разность натуральных чисел
в) сумма натуральных чисел.
31. Сколько сотен содержится в числе 12348?
а) 123 б) 48 в) 3
32. Разрядная единица 5-го разряда в десятичной системе счисления – это число: а) 10000 б) 100000 в) 1000.
33. Как можно прочитать число 207020?
а) 2070 сот. 2 ед. б) 207 тыс. 2 дес. в) 2070 тыс. 20 ед.
34. На сколько 8 десятков тысяч больше 8 десятков?
а) на 7920 б) на 79900 в) на 79920
35. Выбери знак, пропущенный в записи: 34695 : 9 … 18996 : 6
а) = б) > в) <
36. В какой системе счисления отношение двух соседних разрядных единиц равно числу 8? а) в 10-тичной б) в 2-ичной в) в 8-ричной.
37. Выражение 2 ∙ 54 + 3∙ 52 + 1 есть запись числа:
а) 2315 б) 2030110 в) 203015
38. Какое число записано неверно в 8-ричной системе счисления?
а) 453078 б) 649108 в) 10458
39. Во сколько раз увеличится число 425 , если справа приписать к нему два нуля? а) в 100 раз б) в 10 раз в) в 25 раз
40. В какой системе счисления 2∙2 ≠ 4?
а) в 10-тичной б) в 5-ричной в) в 3-ичной
41. Во множестве натуральных чисел алгебраическими операциями являются:
а) сложение, умножение, вычитание и деление
б) сложение и умножение в) сложение и вычитание.
42. Какое из высказываний является ложным?
а) любое натуральное число является действительным
б) любое натуральное число является иррациональным
а) любое натуральное число является рациональным.
43. Взаимно однозначное соответствие можно установить между множеством точек числовой прямой и множеством:
а) рациональных чисел б) действительных чисел в) натуральных чисел.
44. Какое из чисел делится на 3?
а) 1245 б) 48002 в) 1781.
45. Выберите правильное объяснение: Число31048 кратно 4, так как:
а) 8 кратно 4 б) 48 кратно 4 в) сумма 3+1+4+8 кратна 4.
46. Какое из чисел является простым?
а) 12 б) 17 в) 1.
47. Фигуры называются равновеликими, если:
а) они равны б) их площади равны
в) они могут быть разбиты на соответственно равные части.
48. Среди следующих высказываний выберите истинное:
а) если фигуры равновелики, то они равны
б) если фигуры равносоставлены, то они равновелики
в) если фигуры равновелики, то они равносоставлены.
49. Какое из высказываний истинно?
а) 1м2 =1000см2 б) 1м2 =100 см2 в) 1м2 =10000 см2
50. Площадь фигуры F сначала измерили с помощью единицы Е, а затем единицу площади уменьшили в 2 раза и снова произвели измерение.
Какое из высказываний верно?
а) численное значение площади уменьшится в 2 раза
б) численное значение площади увеличится в 2 раза
в) численное значение площади не изменится.
51. Какое из высказываний истинно?
а) при постоянном времени расстояние обратно пропорционально скорости
б) при постоянной скорости расстояние обратно пропорционально времени
в) при постоянном расстоянии время обратно пропорционально скорости.
52. Прочитайте задачу: «В четырех пакетах 12 кг муки. Сколько муки в двух таких пакетах?». Какие величины находятся в прямой пропорциональной зависимости?
а) масса муки во всех пакетах и количество пакетов
б) масса муки во всех пакетах и масса муки в одном пакете
в) масса муки в одном пакете и количество пакетов.
53. Разгадай правило, по которому записан ряд величин: 5 т, 70 ц, 9 т, 110 ц, 13 т, … . Выбери величину, которой нужно продолжить этот ряд:
а) 16 т б) 150 ц в) 130 т
54. Увеличь 1 дм2 на 4 см2. Сколько квадратных сантиметров получится? а) 1004 см2 б) 14 см2 в) 104 см2
55. Какая из следующих записей не является выражением?
а) 25 + 8 б) 2х – у в) 3х + 1 = 5.
56. Какое равенство не является тождеством?
а) ( х)( у) х + у = у + х
б) ( х)( у) х – у = у – х
в) ( х)( у) х ∙ у = у ∙ х
57. Какое уравнение равносильно уравнению 2х – 4 = 0 на множестве действительных чисел?
а) 2х +4 = 0 б) Зх = 6 в) (х – 2)(х + 2) = 0.
58. Какое неравенство равносильно неравенству –3х < –6 на множестве действительных чисел?
а) 3х < 6 б) х > 2 в) х < 2
59. Найди периметр прямоугольника, ширина которого 20 мм, а длина в 3 раза больше.
а) 18 см б) 12 см в) 16 см
60. Из города выехали одновременно в одном направлении две легковые машины. Скорость одной машины – 100 км/ ч, другой - 120 км/ ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 3 часа?
а) 20 км б) 60 км в) 40 км
На стр. "Наши преподаватели" На главную стр. |